기호와 공식 암기를 벗어나 직관으로 푸는 미적분 전략서!

EBS 《수능 특강》 대표 저자가 알려주는 수학 공부의 새로운 패러다임!

기계적으로 문제만 풀던 ‘끔찍한 악몽’ 같던 과목에서

극한 상황을 상상하는 ‘놀라운 영감’의 순간으로 전환하는 단 한 권의 책

★★★

前 한국교원대 총장, 前 대한수학교육학회 회장 류희찬 추천

경남대학교 수학교육과 교수 박부성 추천

초대형 입시 수학학원 ‘깊은생각’ 원장 한석만 추천

★★★

책을 읽는 내내, 내가 이미 알고 있다고 생각했던 것조차

제대로 알고 있는 것이 아니었다는 깨달음과 반성의 연속이었다.

- 김민경(둔촌고 수학 교사, EBS 집필자)

학생에겐 수학적 사고력과 재미를,

수학 교사에겐 수학 수업과 문항 출제에 대한 통찰을,

일반인에겐 정신적 풍요로움을!

- 류지수(녹동중학교 교감)

이제는 학교에서 수학을 왜 배우는지 알겠다.

- 김홍윤(고등학생)

나에게 수학의 원리에 대한 가르침과 더불어

양의 무한대로 발산하는 크기의 재미까지 주었다.

- 김민준(고등학생)

《미적분 직관하기》는 대수적인 계산 없이 문제를 감각적으로 파악하는 것은 물론 인류사의 큰 줄기를 만들어온 미적분의 화려한 무대를 ‘직’접 ‘관’람하는 경험을 선사하는 새로운 개념의 수학책이다. 이 책을 쓴 박원균은 고등학교에서 30년 가까이 학생들을 가르친 수학 교사이자 수능 연계 교재 《EBS 수능 특강》 현직 최장기 집필자로 매년 교사들을 대상으로 수능형 문제 출제 연수를 이끌고 있다.

이 책에서는 실제로 평가원 문제와 수능 문제를 다루면서 출제자가 문제를 낸 의도에 기반해 미적분을 설명한다. 독자는 수학 문제를 그것이 만들어진 기원에서부터 접근함으로써 훨씬 수월한 문제 해결법을 깨닫는 것은 물론 그 안에 숨겨진 아름다움까지 느끼게 된다. 책을 읽다 보면 저절로 문제를 풀고 있는 자신을 발견하는 짜릿한 경험 또한 얻을 수 있다. 인류 문명에 미적분이 등장하면서 벌어진 수학자들의 사고 과정과 인문학적 영감도 이 다채로운 여정에 함께한다.

미적분은 단순한 수학 공식이 아니라 우리가 사는 세상을 이해하는 강력한 사고 도구다. 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 창시한 이후, 이 개념은 과학, 공학, 경제학, 컴퓨터 과학 등 거의 모든 분야에서 필수적인 역할을 해왔다. 하지만 오늘날 많은 사람들은 미적분을 단순한 시험 과목이나 복잡한 수학 문제로만 여기고, 그 본질적인 의미와 직관적 아름다움을 경험하지 못한다. 저자 박원균은 학생들과 교사, 일반 독자들의 고정관념을 깨고 미적분을 새로운 시각에서 즐길 수 있도록 돕는다.

《미적분 직관하기》는 1권에서 미분, 2권에서 적분을 다룬다. 그 여정의 첫걸음을 떼는 《미적분 직관하기 1: 눈으로 푸는 미분의 비밀》은 미분에 대한 이야기에서 시작된다. 이제 책을 펼치고 잠자고 있던 나의 직관을 깨우는 미분 이야기에 빠져보자.

1. 계산에 지친 당신, 진짜 수학의 본질을 만나라!

• - 경험할 수 없는 세계를 꿈꾸는 극한

1. - 직관과 상상력을 자극해 무한의 신비와 한계를 재발견하다
2. - 계산 너머 수학적 직관으로 우주와 양자의 세계를 탐험하다

미분은 인간의 인식이 닿을 수 없는 미세한 변화의 본질을 해결하려는 시도다. 극한을 통해 우리는 직접 경험할 수 없는 ‘순간’을 정의하고, 이를 통해 세상의 변화를 포착하는 여정을 시작한다. 변화의 순간을 분석하는 도구인 미분의 핵심은 극한 개념에 있다. 극한을 통해 곡선의 기울기와 접선을 정의하고, 변화를 포착할 수 있기 때문이다.

수학의 전 과정은 인류가 맞닥뜨린 세상을 해명하고 새로운 세상을 펼치려는 노력에서 시작되었다. 복잡한 공식과 계산 과정을 내리 써가며 저리는 손을 주무르는 것은 수학의 시작이 아니었다. 제대로 된 수학 학습이란 균형을 이룬 논리와 직관의 조화다. 통찰과 함께하는 추론이야말로 새로운 수학을 만들어내는 원동력이자 세상을 이해하는 핵심이다. 저자는 계산 너머에 있는 직관이라는 진짜 수학과 함께 우리를 우주와 양자의 세계로까지 데려다준다.

1부 〈끝없는 세계를 직관한다: 극한〉은 무한과 한계 사이의 경계를 탐구한다. 제논의 역설, 순환소수 0.999… 등 다양한 사례를 통해 수렴과 발산, 그리고 극한 상황에서 드러나는 자연과 우주의 미묘한 경계를 직관적으로 느끼게 한다.

무한은 인간이 직관적으로 이해하기 어려운 개념이다. 우리는 무한히 넓은 우주, 끝없는 숫자의 나열, 무한히 작은 입자들을 상상하지만, 이를 명확히 정의하기란 쉽지 않다. 이 책은 무한에 직관적으로 접근하는 다양한 사고 실험을 살펴보고, 우리가 무한을 어떻게 인식하는지 탐구한다.

무한은 단순히 ‘끝이 없는 것’이 아니다. 수학에서는 무한을 엄밀하게 정의하고 다룬다. 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 방법을 제시했고, 현대 수학은 유한과 무한을 구별하는 도구를 발전시켜 왔다. 경계 없는 무한은 실은 모두 같은 크기가 아니다. 가산 무한과 비가산 무한의 개념, 수학에서 구분되는 무한의 위계, 극한을 활용해 0.999…=1임을 보이는 과정 등을 통해 우리는 극한 개념이 어떻게 작용하는지 ‘손이 아닌 눈으로’ 이해할 수 있다.

인간은 끝없는 공간과 시간을 상상하며 무한의 개념을 철학적으로도 탐구해왔다. 우주는 무한한가, 아니면 유한한가. 우주의 무한성과 수학적 무한은 어떻게 연결될 수 있는가. 1부에서는 극한을 활용한 사고 실험을 수행하며 극한을 통해 우주적 규모를 이해하려고 시도한다. 더 나아가 오늘날 그 어떤 과학보다 화제인 양자역학과 원자보다 작은 미시 세계를 직관이라는 방법론을 통해 탐험하며, 그 안에서 극한이 어떤 역할을 하는지까지 살펴본다.

2. 개념이 만들어지는 과정을 ‘직관’하다

- 잠시나마 내가 아르키메데스, 뉴턴, 라이프니츠가 된 기분!

- 미분법을 향한 뉴턴과 라이프니츠의 치열하고도 우연한 레이스

1. - 압축된 개념 뒤에 숨은 수학의 서사를 만나다

2부 〈변화를 직관하다: 미분〉은 독자가 “잠시나마 내가 아르키메데스, 뉴턴, 라이프니츠가 된 것 같은 기분”(한도윤, 고등학생)을 느끼게 한다. 매 수업마다 학생들이 “어설프게나마 수학을 직접 만들어보는 경험을 할 수 있도록 다양한 시나리오를 만들고 적용”해온 저자는 독자가 뉴턴과 라이프니츠의 혁신적 발견부터 현대적 응용으로 발전하는 과정을 차근차근 따라가며 스스로 한 명의 수학자가 되어 미분의 의미를 드러내는 듯한 경험을 만끽하게 해준다.

수학자들은 고대부터 16세기에 이르기까지 미분에 대한 기초 개념을 발전시켜왔다. 그러다 17세기에 들어서면서부터 여러 수학자가 독립적으로 미분법의 기본 원리를 발견했다. 초기 미분법의 발전사에는 미적분의 탄생에 기여한 수많은 선구자들이 있다. 페르마의 극대·극소 문제, 데카르트의 해석기하학, 무한소 등 미적분의 개념적 기원이 되는 이야기가 이어진다.

여기서는 그 가운데서도 특히 미적분의 창시자로 알려진 뉴턴과 라이프니츠를 상세히 다룬다. 두 수학자는 각기 독립적으로 미적분을 발견했으며, 각자의 방식으로 체계를 정립했다. 운동을 분석하는 도구로 접근한 뉴턴과 함수의 변화를 연구하는 방법으로 접근한 라이프니츠의 방식을 비교하며 현대 미분법의 기초를 살펴보고 현대적인 미분 개념까지 이어서 이해할 수 있다.

저자의 말대로 많은 사람들은 “수학이 원래부터 완벽하게 태어나 영원히 지고지순하게 존재하는 학문인 줄 안다.” 하지만 극한의 개념을 완성하기까지 걸린 200년의 시간을 떠올려보자. 수학 또한 인류의 거듭된 시행착오 끝에 나온 결과물이며 지금 이 순간에도 수많은 수학자들의 직접적인 대화와 간접적인 경험으로 구성되어가고 있다.

3. 미분, 끊임없이 변화하는 현대 사회의 언어

- 명징하게 직관하는 일상 속의 미분

- 상대성이론부터 별의 진화까지, 미분으로 설명하는 우주의 법칙

- 세계를 해석하는 가장 아름다운 시선으로

미분은 천문학, 공학, 경제학, 생물학 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 실생활에 응용하는 데 핵심적인 개념은 ‘접선’이다. 가장 효율적으로 물건을 생산하기 위한 비용을 계산하거나 일상적으로 사용하는 전자제품에 전류를 가하는 순간들은 접선을 구하는 과정을 포함하고 있다. 누군가 무엇을 미분하고 있을 때, 그는 한계비용을 따져보고 있을 수도, 전류를 측정하고 있을 수도 있다. 인류의 문제 해결엔 늘 미분이 함께하고 있다.

곡선 위 한 점에서 접선을 찾는 것은 미분의 기본적인 응용이다. 여기서 저자는 접선 개념을 직관적으로 이해하는 방법을 탐구한다. 특히 1부에서 제시한 극한 개념을 활용하여 곡선의 변화를 이해하는 과정을 탐색하고 이를 종합해 접선을 향해 극한 여행을 떠난다. 곡선의 접선을 찾는 과정은 결국 극한을 이용하는 과정이다. 한 점에서 접선을 정의하는 방법을 단계적으로 설명하며, 극한과 미분의 관계를 강조한다.

우주에서 지구를 바라보면 지구는 하나의 작은 점처럼 보인다. 마찬가지로, 미분을 사용하면 복잡한 세상도 하나의 일관된 원리로 이해할 수 있다. 우주와 빛은 떼어놓을 수 없는 관계다. 우주의 근본 법칙을 밝혀내는 수학적 모델 속에서 빛은 파동과 입자 이중성을 동시에 설명하며, 미적분과 물리 공식으로 에너지 흐름을 정밀하게 해석하는 결정적 원동력이다. 이러한 빛을 연구하는 광학에서 미분은 특히나 중요한 역할을 하는데, 빛의 반사와 굴절을 분석하는 과정에서 그 개념이 사용된다. 빛의 경로는 페르마의 원리를 따르며, 이는 미분의 개념과 연결되어 미분을 통해 빛이 어떻게 최단 경로를 찾는지 분석할 수 있다.

수많은 우주의 현상인 천체의 움직임, 상대성이론, 블랙홀의 구조 등 많은 법칙이 미분을 통해 설명된다. 별의 진화 과정 마지막에서 별이 폭발할 때 일어나는 초신성 현상과 함께 이 책 또한 마무리된다.

결국, 이 책은 ‘미적분을 배워야 하는 이유’를 단순히 지식의 축적이 아니라, 세상을 바라보는 새로운 관점을 얻는 과정으로 안내한다. 우리 삶과 우주를 해석하는 가장 아름다운 언어, 미분의 세계에 당신을 초대한다.

이 책을 먼저 읽은 분들의 찬사

들어가며: 이해하는 수학에서 발견하는 수학으로 

1부 끝없는 세계를 직관하다: 극한

1 무한을 품기 시작하다 

2 무한이 만든 세계관 

3 무한을 정의하다 

4 무한 vs 무한 

5 믿을 수 없는 것을 믿게 하라 

6 극한의 탄생 

7 수직선 완성시키기 

8 이어짐과 끊어짐 사이에서 

9 우주로 뻗어나가는 무한한 상상력 

10 극한 여행의 시작 

11 직관을 타고 거시세계로 

12 직관을 타고 미시세계로 

13 무한 싸움에 상수항 등 터진다 

14 극한 상황 체험하기 

15 극한의 현혹을 뛰어넘어 

2부 변화를 직관하다: 미분

1 새로운 시대와 미적분 

2 운동의 비밀을 밝히다 

3 미분법이 싹트다

4 미분의 선구자들 

5 뉴턴과 라이프니츠의 미분법 

6 현대의 미분 

7 접선 직관하기 

8 수학 현미경으로 보는 세상 

9 직관을 타고 접선의 세계로 

10 지구를 향한 여정

11 미분가능성 직관하기 

12 미분의 역할 

13 곱의 미분법 직관하기 

14 미분의 활용 

15 빛의 세계에 눈을 뜨다 

16 빛의 수학 

17 미분이 펼친 직관의 세계 

18 변화라는 세계 

19 우주의 수학

20 끝은 또 다른 시작

부록 

더 깊이 들어가기

참고 문헌

도판 출처

학생들은 수학이 원래부터 완벽하게 태어나 영원히 지고지순하게 존재하는 학문인 줄 안다. 나 역시 고등학교 시절에는 뉴턴과 라이프니츠가 지금 교과서에 나오는 그대로 미적분을 만들었다고 생각했다. 교과서 속 수학 개념들은 역사와 무관하게 학생들의 학습에 가장 적합한 방

식으로 재구성되어 있기 때문에 생기는 당연한 오해였다. 전문가들이 교육 과정을 이렇게 구성한 이유는 수학을 가장 정확하고 효율적으로 가르치는 길이라고 판단했기 때문이리라. - 들어가며 〈이해하는 수학에서 발견하는 수학으로〉, 10쪽.

분수 b/a가 무한이 되도록 만들기 위해서는 분자 b를 한없이 크게 해도 되고 분모 a를 0에 한없이 가깝게 해도 된다. 그런데 인류가 무한을 처음으로 삶에 이용하게 된 것은 분자를 한없이 키우는 것이 아니라 분모를 한없이 깎는 것을 통해서였다. 무한을 향한 인류의 끝없는 도전은 석기시대부터 시작됐다고 할 수 있는데, 뾰족한 칼, 도끼, 화살촉 등에서 무한의 개념을 찾아볼 수 있기 때문이다. - 1부 1장 〈무한을 품기 시작하다〉, 26쪽.

천재적인 수학자들이라고 해서 처음부터 한 치의 의심도 없이 0.999…=1임을 인정할 수 있었던 것은 아니었다. 0.999…는 심지어 뉴턴을 괴롭히기도 했을 만큼 도깨비 같은 존재였다. 수학자들은 0.999…=1임에 대한 한 점의 의심마저 없애기 위해 이 도깨비가 더 이상 제멋대로 날뛰지 못하도록 0.999…를 명확하게 ‘정의’해버렸다. 그리고 그 과정에서 활용한 도구가 바로 ‘무한대’와 ‘극한(lim)’이다. - 1부 6장 〈극한의 탄생〉, 59쪽.

t의 값을 조금씩 증가시키면서 그림을 그려보자. 다음 그림은 t의 값이 1부터 10까지 1씩 증가할 때를 차례로 나타낸 것이다. 하지만 ‘t→무한’일 때의 문제를 해결해야 하는 상황에서 t=10은 아직 턱없이 작은 수에 불과하다. 적어도 t=100일 때 정도는 그려봐야 하지 않을까? 그런데 t=100일 때의 상황을 그리려면 t=10일 때에 비해 훨씬 더 큰 종이가 필요하다. 하지만 굳이 큰 종이에 그릴 필요 없이 규모를 축소해 그리는 것이 훨씬 간단할 뿐만 아니라 경제적일 것이다. 우리는 이미 거대한 우리은하의 모습도 겨우 한 장의 종이 위에 그린 그림을 직접 보지 않았던가? 영화에서 카메라가 지구의 지표면에서 출발해 먼 우주까지 멀어지며 지구가 보이지도 않을 만큼 줌아웃(zoom-out) 하는 장면을 떠올리면 도움이 될 것이다. - 1부 11장 〈직관을 타고 거시세계로〉, 97-98쪽.

‘세타’가 0에 가까워질수록 부채꼴이 점점 바늘처럼 뾰족해지면서 내접원은 바늘귀와 같은 모습을 보이다가 아예 사라져 버리려고 한다. 무작정 그림을 이런 식으로 그리기만 해서는 이 문제의 핵심인 내접원이 한없이 작아져서 결국 우리의 시야에서 완전히 사라지고 말 것이다. 그러나 상상의 눈을 부릅뜨고 내접원이 있는 부분을 확대한다고 생각하면 사라져 버린 줄로만 알았던 원이 멀쩡하게 부활한다. - 1부 12장 〈직관을 타고 미시세계로〉, 106-107쪽.

수학을 제대로 학습하려면 논리와 직관이 균형을 이루어야 하고, 이를 통해 논리적인 추론 능력과 직관적인 통찰 능력을 함께 배양할 수 있어야 한다. 그래야 새로운 수학을 만들 수 있고, 그래야만 비로소 이 세상을 제대로 이해할 수 있게 될 것이다. 대부분의 위대한 수학적, 과학적 발견은 직관적인 통찰과 엄밀한 논증이 상호보완적으로 조화를 이룬 결과물이다. 아르키메데스는 목욕탕에서 부력의 원리를 직관적으로 알아낸 후 검증을 통해 자신의 이론을 확신할 수 있었고, 뉴턴도 떨어지는 사과를 통해 직관적으로 만유인력을 떠올린 후 미적분을 이용해 만유인력의 법칙을 완성할 수 있었다. - 1부 15장 〈극한의 현혹을 뛰어넘어〉, 131쪽.

조선에서 임진왜란의 전운이 감돌던 시기인 16세기에 유럽은 지구를 탐험하며 식민지를 개척하기 위해 혈안이 되어 있었고, 이를 위해 각종 무기는 물론 항해술, 천문학, 물리학 등의 과학 기술이 폭발적으로 발전했다. 그리고 이를 이론적으로 뒷받침하고 이끌어가기 위한 수학의 필요성이 절실하게 요구되기 시작했다. 그러다 보니 16세기 말에서 17세기에는 노다지처럼 묻혀 있던 새로운 수학적 성질들이 여기저기서 튀어나와 번성하는 황금기가 펼쳐졌다. - 2부 1장 〈새로운 시대와 미적분〉, 135쪽.

뉴턴은 ‘시간’이 연속적으로 흐른다고 보았고, ‘곡선’은 시간의 흐름에 따라 움직이는 점이 그리는 궤적이라고 생각했다. 따라서 곡선은 한없이 작게 자를 수 있는 ‘연속적’인 도형으로 보았다. 여기서 뉴턴은 시간을 항상 일정한 빠르기로 흐르는 양으로 생각했는데, 이 일정한 시간의 흐름을 다음 두 가지 발상을 통해 접선의 기울기를 구하는 데 이용했다. - 2부 5장 〈뉴턴과 라이프니츠의 미분법〉, 169쪽.

이 기호(lim)가 품고 있는 심오한 의미와 절차는 다른 기호와는 차원이 달랐다. 따라서 이 기호가 없었다는 건 건널 수 없는 강이 앞을 가로막고 있는 것과 다름없었다. 그 강을 건너 극한의 개념을 완성하기까지는 200년에 가까운 수학자들의 노력이 필요했다. - 2부 6장 〈현대의 미분〉, 178쪽.

이 문제는 본래 미분 단원의 문제로 출제된 것이 아니라 코사인법칙을 이용하는 함수의 극한 문제로 출제된 것이었지만, 나는 직관적인 미분의 아이디어로부터 탄생한 문제라고 생각한다. 출제자는 이 문제를 통해 학생들에게 미분이 왜 ‘수학적 현미경’인지를 깨닫게 하고 싶었을 것이 틀림없다. - 2부 9장 〈직관을 타고 접선의 세계로〉, 199쪽.

뉴턴과 라이프니츠도 이런 특이한 곡선이 존재할 수 있을 것이라고는 상상하지 못했다. 만약 뉴턴과 라이프니츠가 이러한 함수의 존재를 알았더라면, 미적분의 발걸음을 한 발씩 뗄 때마다 괴상한 함수의 존재 여부를 확인하느라 그들의 미적분의 발전 속도는 오히려 더 더뎠을지도 모른다. - 2부 11장 〈미분가능성 직관하기〉, 223쪽.

누군가 무언가를 미분하고 있는 모습을 보면 그저 접선의 기울기를 구하는 것처럼 보일 수 있지만 사실 그는 지금 속도를 구하고 있을 수도, 전류를 구하고 있을 수도, 한계비용을 구하고 있을 수도 있다. 어쩌면 우리가 접선의 기울기를 구하고 있을 때에도 우리는 모든 분야의 문제를 해결하는 연습을 하고 있는 것인지도 모른다. - 2부 14장 〈미분의 활용〉, 253쪽.

빛이 미적분의 법칙대로 움직인다는 페르마의 증명은, 케플러의 법칙에 이어 우주가 수학적으로 작동한다는 사실을 다시 한번 확인한 쾌거였고, 미분을 이용해 자연의 비밀을 발견한 최초의 사례가 됐다. 나아가 수학자들과 과학자들에게 미분을 통해 우주의 더 많은 비밀을 캐낼 수 있다는 가능성을 보여준 신호탄이었다. - 2부 16장 〈빛의 수학〉, 268쪽.

스키 선수가 스키를 타고 산비탈을 내려올 때, 몸을 오른쪽으로 기울이면 그 선수의 스키는 우회전하는 경로를 그리고, 몸을 왼쪽으로 기울이면 좌회전하는 경로를 그린다. 그리고 이 선수가 진행 방향을 바꾸려면 몸을 순간적으로 똑바로 세워야 한다. 이처럼 진행 방향을 바꾸기 위해 몸을 똑바로 세우던 순간들이 그 선수가 지나온 경로의 변곡점이 된다. - 2부 18장, 286쪽.