★미국 아마존 수학 분야 1위★

★LA타임즈 북 프라이즈 과학기술 부문 수상★

피부로 느낄 수도, 눈으로 들여다볼 수도 없는 수학은 진짜일까?

“수학은 진짜로 존재하지는 않지만 ‘진짜’다!”

진짜 수학을 마주하고, 수학으로 삶의 즐거움을 만끽하는 방식!

수학을 사랑하는 사람이 있는가 하면 증오하는 사람도 있다. 여기서 놀라운 점은 수학을 사랑하는 이유와 수학을 싫어하는 이유는 같을 때가 많다는 거다. 답이 명확하다는 점 때문에 수학을 사랑한다고 말하는 사람이 있는 반면, 명확한 답이 있기에 삶의 다양한 측면을 반영하지 못한다고 말하는 사람도 있다. 후자의 이들은 흑백 논리로는 인생의 즐거움을 찾을 수 없다고 덧붙이기도 한다. 그러나 ‘명확한 정답을 가진 엄격한 세계’라는 이미지는 수학에 대한 아주 제한적인 시각이라고 이 책의 저자는 말한다. 오히려 깊이 파고들수록 수학에는 명확한 답이 없다는 것, 그리고 수학은 다양한 측면을 연구하는 학문이며 그에 따라 오히려 여러 개의 답을 찾을 수도 있다고 말한다.

그렇다면 정답이 없고, 무한히 뻗어나가는 수학은 ‘진짜’일까? 만질 수도 없고, 눈으로 볼 수도 없는데 그걸 진짜라고 부를 수 있을까? 《수학, 진짜의 증명》은 우리가 수학에 갖는 그 모든 질문이 중요하다고 말한다. 그래서 수학은 어디에서 왔고, 수학은 어떻게 작동하는지, 우리는 왜 수학을 하는지, 무엇이 수학을 좋아지게 하는지 등의 사소한 내용들부터 살펴본다. 그 후에는 문자, 공식, 그림과 같은 수학을 이루는 구체적인 요소들을 이야기한다. 그리고 저명한 수학자들도 우리와 비슷한 의문을 가졌으며, 그 질문에 대한 답을 기존 지식과 어떻게 연관 지어 답을 얻었는지까지 사례를 통해 알려준다. 수학은 무조건 어렵다며 싫어해 왔다면 이 책이 다시 한번 수학과 친해질 기회가 될 것이다.

들어가며

1장 수학은 어디에서 오는가

2장 수학은 어떻게 작동하는가

3장 우리는 왜 수학을 하는가

4장 무엇이 수학을 좋아지게 하는가

5장 문자

6장 공식

7장 그림

8장 이야기

마치며

감사의 말

수학의 현실과 수학에 대한 인식에는 차이가 있습니다. 저는 그 차이를 좁히고 싶습니다. 수학을 불필요할 정도로 싫어하는 사람이 너무 많습니다. 실제로는 핵심을 짚는 중요한 질문인데도 너무 기본적인 질문을 하는 것 같다며 스스로 움츠러들고는 하지요. 주위에서조차 그 중요한 질문을 멍청한 질문이라거나 수학에서 하면 안 되는 질문이라며 나무랍니다. 저는 그런 질문들에 답을 해주고 싶습니다.

-12쪽

수학은 ‘진짜로 존재’하지는 않지만, ‘진짜’입니다. 수학은 진짜 아이디어이고 진짜 생각이며 진짜 이해를 끌어냅니다. 저는 수학이 주는 명료함을 좋아합니다. 다만 그 명료함이 간혹 모호함을 밝히는 게 아니라 모든 것을 엄격하게 흑백으로 나누는 것처럼 보일 수 있다는 점이 아쉽습니다. 하지만 그렇게 생각하는 사람들에게도 공감합니다. 수학을 주로 접하는 방식 때문에 그런 인상을 가지게 되었을 테니까요. 저 역시 학창 시절에 그런 경험을 했던 것처럼 말입니다.

-18쪽

바이러스 질병은 반복 증식으로 퍼져 나간다. 이는 각 감염자가 평균적으로 특정한 수의 사람들을 감염시키는 원리이다. 감염자 수가 3명이라고 가정해 보자. 그러면 그 감염자 3명이 각각 평균 3명의 사람을 감염시킬 것이고, 이는 3×3=9명이 된다. 그리고 그 감염자 9명은 각각 3명을 또 감염시킬 것이고, 이렇게 되면 3×9=27명이 된다. 각 단계에서 새로운 감염자의 합계는 기존 감염자 수에 3을 곱한 결과가 된다. 반복 증식을 나타내는 이 ‘거듭제곱’은 수학자들이 반복 덧셈을 연구하는 것과 같이 추상적으로 연구하는 분야다.

-61쪽

‘왜 0으로는 나눌 수 없는가?’라는 문제는 수 세기 동안 사람들을 괴롭혀 왔다. 어떤 사람들은 이것이 명백하다고 말한다. 쿠키 한 꾸러미를 나눠서 사람들에게 각각 0개의 쿠키를 나눠주려고 한다면, 우리는 모든 쿠키를 절대 다 사용할 수 없을 것이다. 하지만 이는 ‘나누다’라는 것이 어떤 의미인지 그 해석에 따라 달라진다. 여기서 그 또 다른 해석이 등장한다. 만약 우리가 0명의 사람들 사이에서 쿠키 한 꾸러미를 나누어 주려고 한다면, 각각이 갖게 되는 쿠키는 몇 개인가? 약간 까다로운 문제다. 모두가 0개의 쿠키를 가진 것처럼 보일지 모르기 때문이다. 또한 0명의 사람이 각각 1개의 쿠키를 가졌으니 모두가 1개의 쿠키를 가진 것으로 볼 수도 있다. 같은 방식으로 모두가 2개의 쿠키를 가졌다고도 할 수 있다.

-120쪽

사람들은 무한대가 실제로 수천 년을 뜻하는 것이라고 생각해 왔다. 수천 년 전 수학자와 철학자들이 제기한 질문은 오늘날 호기심 가득한 아이들이 종종 묻는 질문과 똑같다. 무한대란 무엇인가? 숫자는 무한대인가? 우리는 무한대에 도달할 수 있는가? 세상에는 무한한 것들이 있는가? 무언가를 무한대의 조각들로 나눈다면, 그 나눈 각각은 얼마나 큰가? 이 중 많은 질문은 그리스 철학자 제노와 그의 동료들이 연구한 것들이다. 그리고 여기서 알쏭달쏭한 것들이 제노의 모순에 압축되어 있다. 내가 가장 좋아하는 것은 ‘초콜릿 케이크를 영원히 보관하는 방법’으로 묘사하는 부분이다. 초콜릿 케이크의 반을 먹고, 이후에 그 남은 반의 반을 먹고, 그 다음에는 그 남은 반의 반의 반을 먹는 것. 이것을 계속하는 것이다.

-197쪽

문자가 숫자보다 더 추상적이라는 것은 참이다. 그러나 숫자는 이미 통합하려는 것들보다 더 추상적이었고, 우리 대부분은 그 추상화에 대해 어느 정도 간신히 이해하고 있는 상태다. 그것도 상당히 어렸을 때 이해한 결과다. 이는 우리 모두가 추상적 사고를 할 수 있다는 걸 보여준다. 추상적 사고를 왜 하는지 알지 못한다면 당황스러울 수는 있다. 그런 경우에는 대부분 뚜렷한 동기가 없는 것일 테다. 공 잡기나 다림질처럼 더 많은 동기를 가지고 있다면 그것을 하는 방법을 당연히 배우겠지만, 그걸 해야 할 동기가 없기 때문에 여전히 하지 못하고 있는 것이다.

-284쪽

플로렌스 나이팅게일은 ‘램프를 든 천사’라고 알려져 있기도 하며, 아마도 위대한 간호사로 가장 널리 기억되는 인물일 것이다. 중요한 것은 그녀가 실제로 뛰어난 수학자이자 통계학자이기도 했다는 것이다. 그녀는 군인들의 식단을 비롯해 병원 청소, 환기 및 하수 시스템 개선 등 그러한 사망률을 극적으로 줄이기 위해 필요한 조치들을 실행했다. 그런데 여기서, 그녀는 이 분석만 했을 뿐 아니라, 그녀가 분석한 데이터를 이해할 수 없을지도 모르는 권력자들에게 이를 명료하고 생생하게 전하는 것이 얼마나 중요한지도 이해하고 있었기 때문에 그 데이터를 보여줄 수 있는 시각적으로 매력적인 방식을 고안해 낸다. 그녀가 떠올린 것은 파이 차트 버전인데, 이를 그녀는 ‘맨드라미’라고 불렀다. 하지만 이제는 다소 평범한 이름인 ‘극 면적 도표’라는 이름을 가지고 있다.

-393쪽

수학의 기원과 추상화

수학은 더 잘 이해하고자 하는 인간의 본능에서 시작되었다. 이를 위해 우리는 세상을 더 단순하게, 더 명료하게 바라볼 방법을 찾아냈다. 그것이 바로 ‘추상화’다. 추상화란 복잡한 현실 속에서 지금 당장 중요한 부분에만 집중하면서도, 다른 요소들이 존재한다는 사실을 잊지 않는 기술이다. 그리고 추상화의 결과로 탄생한 것이 바로 숫자다. 숫자는 단순히 세기를 위한 도구가 아니다. 이는 우리 사고의 경이로운 발명품으로, 현실을 단순화하면서도 그 본질을 놓치지 않는 추상적 사고의 정수라고도 할 수 있겠다. 《수학, 진짜의 증명》은 그러한 숫자가 이처럼 심오한 과정을 통해 태어났음을 말하고, 또 숫자라는 것이 마냥 지루하게만 느껴질 수밖에 없는지 친절히 풀어 설명한다.

추상화란 단지 수학의 시작에 불과하다. 말하자면 추상화란, 우리가 세상을 이해하고 설명하기 위해 사용했던 초기의 도구였다. 하지만 이것이 단순히 ‘지루한 숫자’에 그치는 것이 아니라, 세상과 사물을 새롭게 바라보게 하는 아주 혁명적인 관점을 제공했다는 점에서 수학은 그 자체로 경이로운 언어일 수밖에 없다. 《수학, 진짜의 증명》은 숫자가 왜 필연적으로 태어날 수밖에 없었는지, 그리고 왜 수학의 시작이 바로 추상화의 시작인지에 대해 그 이야기를 이어간다. 우리가 간단히 1, 2, 3으로 생각하는 숫자들 뒤에 숨겨진 배경을 되새기며, 수학이 우리의 사고를 어떻게 형성했는지 보여주는 책이다.

수학, 통찰의 언어: 이해와 발견의 여정

수학은 단순히 암기나 계산의 학문이 아니다. 앞서 말했듯, 수학은 우리가 세상을 더 잘 이해하려는 본능에서 시작되었으며 그 과정에서 수많은 논쟁과 갈등을 극복하며 발전해 왔다. 음수와 0 같은 개념의 발견은 과거에 큰 논란을 불러일으키기도 했다. 그럼에도 불구하고, 수학은 이러한 논란을 해결하며 인류의 사고를 한 단계 끌어올리는 역할을 해왔다. 우리가 수학을 공부하는 이유는 단순히 문제를 풀기 위해서만이 아니다. 때로는 멀리서 아른거리는 어떤 진리를 더 명확히 보고 싶어서이고, 때로는 다른 사람의 해답을 곧이곧대로 받아들이고 싶지 않아서다. 해결하고 싶은 구체적인 문제가 있을 때도 있고, 단순히 재미를 위해 수학을 탐구하기도 한다. 수학은 이런 다양한 동기와 필요를 충족시키며, 인간 사고의 무한한 가능성을 열어준다.

좋은 수학은 단순히 무엇이 참이고 거짓인지 판단하는 데 그치지 않는다. 그리고 수학은 더 나아가 진리에 대한 깊은 통찰력을 제공한다. 이는 단순히 개념을 정리하는 것을 넘어, 다양한 상황을 하나의 논리 체계로 통합하고 그 논리를 더욱 폭넓게 적용할 수 있는 힘을 준다. 예컨대, 순환소수나 복소수 같은 개념은 단순한 숫자의 확장이 아니다. 이러한 개념은 수학적 사고의 경계를 넓히며 인간이 문제를 바라보는 새로운 관점을 제시해 준다. 미적분 또한 자연 세계를 이해하기 위한 도구로, 그 자체로 혁신적이면서도 아름다운 논리적 구조를 보여준다. 흥미롭게도 수학은 수와 기호의 논리적 배열을 넘어 인간의 세계관과도 깊이 연결되어 있다. 이 책은 수학적 개념의 발전뿐 아니라, 진보와 식민주의 같은 사상이 수학에 어떤 영향을 미쳤는지도 탐구한다. 또 수학이 단지 학문의 영역에 머물지 않고, 인간의 역사적, 철학적 맥락 속에서 작동하는 언어임을 보여준다. 

문자와 공식, 수학을 이해하는 데 왜 문자가 필요한가요?

수학에서 숫자만 다룰 때는 비교적 간단하게 느껴질 수 있지만, 문자를 사용하는 순간 그것이 어렵고 쓸모없다고 느낀 적이 한 번쯤은 있을 것이다. 그러나 숫자를 문자로 바꾸는 이유는 더 많은 수를 한 번에 표현할 수 있는 효율적인 방식이기 때문이다. 이는 더 복잡한 개념을 다룰 수 있도록 도와주며, 추론을 통해 세상을 더 깊이 이해할 수 있는 길을 열어주는 도구로 작동한다. 공식은 단순히 암기해야 할 기호의 나열이 아니라, 무한한 가능성을 담고 있는 강력한 도구다. 공식은 숫자와 문자 사이의 관계를 압축적으로 표현하여, 복잡한 문제를 간결하게 다룰 수 있게 만들어 준다. 공식을 온전히 이해하면 억지로 외우지 않아도 자연스럽게 기억하게 되는 법이다. 《수학, 진짜의 증명》은 공식을 단순한 계산 도구가 아닌, 사고와 직관을 확장하는 수단으로 설명하고 있다. 그러니까 바꾸어 말하면, 방정식은 숫자들의 관계를 나타내는 문장이라고 볼 수 있다. 이러한 방정식에서 발전된 공식은 복잡한 계산이나 추론을 하나의 간결한 표현으로 요약해 주며, 더 많은 문제를 효과적으로 해결할 수 있도록 도와준다.

수학에서 그림은 추상적 개념을 이해하기 위한 강력한 시각적 도구다. 그래프는 복잡한 공식을 시각적으로 표현하여, 숫자와 문자로만 이루어진 관계를 직관적으로 이해할 수 있게 만들어 준다. 그래프를 통해 공식을 단순히 계산하는 것을 넘어, 그 안에 담긴 모양과 경향을 파악할 수 있다. 물론 그래프는 형식적이고 엄밀한 수학적 과정에서는 다소 부족할 수 있다. 하지만 직관적인 이해를 돕고, 복잡한 수학적 개념을 한눈에 보여주는 데 있어 매우 효과적이다. 이런 이유로 그림은 수학의 추상적 개념을 시각화하고 이를 쉽게 이해할 수 있게 해주는 중요한 역할을 한다.

《수학, 진짜의 증명》은 수학을 배우면서 누구나 가졌을 법한 의문들 에 대해 명쾌한 해답을 제시하고 있다. 이 책은 수학이 단순히 계산을 넘어, 인간의 사고를 풍요롭게 하고 이해의 폭을 넓히는 도구임을 설득력 있게 풀어낸다.

문자와 공식, 그림은 수학이라는 언어의 중요한 요소다. 이 도구들을 통해 우리는 단순한 계산을 넘어, 복잡한 세계의 관계를 더 깊이 이해할 수 있다. 《수학, 진짜의 증명》은 이러한 수학적 사고의 본질을 탐구하며, 수학의 매력을 느낄 수 있도록 돕고 있다.