수포자가 없는 세상을 위하여 

기초부터 심화까지 수학에 흥미롭게 접근하는 법

초등학교가 아닌 ‘국민학교’를 다녔던 세대들은 “나는 공산당이 싫어요!”라는 한 소년의 외침을 기억할 것이다. 냉전 시대를 살아가는 청소년들에게 ‘공산당’은 무엇보다 두렵고 무서운 존재였다. 냉전 체제가 종식된 지금 청소년에게 그때의 공산당 같은 존재가 있다. 바로 ‘수학’이다. “나는 공산당이 싫어요!”가 아닌 “나는 수학이 싫어요!”라고 소리 높여 외치는 청소년들을 우리는 ‘수포자’라고 한다.

대학과 대학원에서 수학을 전공하고 중학교에서 수학을 가르치고 있는 저자 임청 선생님은 ‘수포자’라는 용어가 더 이상 쓰이지 않기를, 모든 아이가 수학에 흥미를 느끼며 수학을 공부할 수 있기를 바라고 있다. 저자는 학교 수학 수업에 느리게 따라오는 아이들을 위한 기본 수업부터 수학을 좋아하는 아이들을 위한 심화 수업까지 다양한 수학 수업을 진행하고 있다. 

전작 《요즘 애들 수학》은 중고등 수학 교과 과정에 따른 구성으로 수학의 기본기가 부족한 아이들을 도와주기 위한 책이라면 《썸 타는 수학》은 기본기는 갖추어져 있으나 심화 과정에 접근하는 데 주저하는 아이가 좀 더 흥미 있게 다가갈 수 있도록 스토리텔링 형식으로 구성했다. 

프롤로그 | 레오나르도 다빈치, 현대와 만나다 

1부 도형과 방정식의 설레는 첫 만남 

히포크라테스, 곡선 도형의 넓이를 구하다 

작도가 불가능한 도형을 발견하다 

아벨의 귀여운 도발, 방정식 편지 

타르탈리아와 카르다노의 악연 

방정식의 설계도를 다시 그린 수학 천재 갈루아 

스티브 잡스가 만든 〈토이스토리〉 

방정식을 기하로 푼 데카르트 

편지와 메모에서 발견된 페르마의 수학적 업적 

2부 선분이 이어준 인연, 평면을 만나 입체가 되다 

제논의 질문, 토끼와 거북이 중 누가 이겼을까 

유레카 할아버지 아르키메데스의 넓이 구하는 법 

한 치의 틈도 허락하지 않은 케플러의 오렌지 쌓기 

카발리에리의 원리로 알아보는 뿔과 기둥의 부피 관계

세 학자의 컬래버로 천체의 움직임을 밝혀내다 

3부 수학의 꽃, 미적분의 매력에 빠지다 

방정식으로 만든 영화

접선 연구의 선구자, 페르마

갈릴레이의 집념, 물체의 움직임에 대한 패러다임을 바꾸다 

전염병 속에서 피어난 뉴턴의 위대한 발견 

생각과 관점에 따라 달라지는 그림 

로그로 지진의 규모를 측정하다 

베르누이, 은행 이자의 눈속임을 간파하다 

수학의 모든 개념은 유구한 역사를 지니고 있다. 지금의 수학은 수많은 위대한 수학자가 치열하게 쌓아 올린 아름다운 업적들이다. 이 업적들의 진정한 의미는 당시의 시대적 배경, 수학자 들의 인생, 수학자들의 고민 속에 숨어있다. 이것을 살펴본다면 우리가 그동안 수학을 공부하면서 느꼈던 근본적인 질문인 ‘왜 우리가 수학을 배워야 하는지, 어떻게 지금의 수학이 완성되었는지, 수학 개념의 진정한 의미는 무엇인지’에 대한 대답을 얻을 수 있을 것이다. 

나는 이 책에서 수학자들이 어떠한 과정으로 수학 개념을 발생시켰고, 후대 수학자에게 어떤 영향을 미쳐 수학이 발전했는지 보여주고 싶었다. 그 과정에서 수학의 진정한 의미를 탐구하고, 더 나아가 독자들에게 수학에 대한 통찰의 기쁨, 수학의 아름다움을 느낄 수 있는 기회를 주고 싶었다.  

- p6~7

수학을 좋아하는 중학생 아벨은 수학 선생님에게 편지를 썼다. 편지의 말미에는 아주 복잡한 세제곱근 수가 적혀있었다.

이 숫자의 의미를 계산기를 이용해 구해 보자. (※ 힌트 : 편지의 마무리에는 무엇을 쓸까?) 이 퀴즈의 주인공 아벨은 노르웨이를 대표하는 수학자이다. 2002년부터 노르웨이 정부는 아벨의 탄생 200주년을 기념해 그의 이름을 딴 아벨상을 제정해 매년 수학 분야에서 탁월한 업적을 쌓은 학자에게 수여하고 있다. 상금은 자그마치 한화로 10억 원 정도 된다. 노벨상에서 수학과에 대한 상이 없기 때문에 아벨상은 필즈상과 더불어 수학 분야의 노벨상이라 할 수 있다. 2022년에는 허준이 교수가 한국계 최초로 필즈상을 수상해 한국 수학계에 희망의 바람을 일으켰다. 아직 아벨상에는 한국인 수상자가 없는데 미래의 아벨상 수상자를 손꼽아 기다려본다.

- p48~49

19세기 초 가우스 앞으로 논문 하나가 배달되었다. 바로 아벨의 오차방정식의 해법에 관한 논문이었다. 이 논문의 핵심 내용은 ‘오차방정식은 거듭제곱근으로 풀 수 없다.’라는 내용이었다. 모든 수학자가 오차방정식의 근의 공식을 구하기 위해 노력할 때 아벨은 반대로 공식이 존재할까 고민했고, 결국 오차방정식의 근의 공식은 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 그 당시 가난했던 아벨은 종이를 아끼기 위해 자신의 논문을 굉장히 압축해 썼고, 읽는 사람들은 그 내용이 무슨 내용인지 알아보기 어려웠다. 아벨의 논문을 받은 가우스는 논문을 읽지 않고 휴지통에 버려버렸다. 아벨은 포기하지 않고 프랑스 과학원에 다시 한번 논문을 보냈지만 그 당시 논문 심사를 한 수학자 코시도 아벨의 논문에 대해 그리 중요하게 여기지 않았다. 아벨의 스승은 아벨의 뛰어남을 보고 ‘아벨은 살아있는 한 세계 최고의 수학자가 될 수 있다’고 말했지만 아벨은 생전 자신의 업적을 제대로 인정받지 못했다. 그의 뛰어남을 뒤늦게 발견한 베를린대학에서 아벨에게 교수 자리를 부탁하는 편지를 보냈지만 그 편지가 도착하기 전에 아벨은 폐결핵으로 숨을 거두고 만다. 그의 나이 향년 27세였다. 

- p65~66

아벨의 죽은 지 1년이 지난 후 프랑스 과학원에서는 아벨의 업적을 뒤늦게 인정하며 그에게 상을 수여했다. 하지만 아벨의 업적에 눈이 팔린 프랑스 과학원은 또 하나의 위대한 논문을 놓치고 말았으니 바로 수학자 갈루아의 논문이었다. 갈루아는 18세부터 논문을 써서 프랑스 과학원에 제출했다. 처음 논문 심사를 했던 코시는 그 내용이 너무 불명확하다며 논문 게재를 거절했다. 갈루아는 재도전해 프랑스 과학원에 두 번째 논문을 제출했지만 그 당시 논문 심사를 한 수학자 푸리에는 논문 심사 도중 숨을 거두었기 때문에 갈루아의 논문이 제대로 평가받지 못했다. 갈루아의 세 번째 도전에도 논문 심사를 한 수학자 푸아송이 그 내용을 이해하지 못하겠다며 논문 게재를 거절했다.

갈루아의 논문 내용은 방정식의 풀이를 기존의 방법인 수나 함수에 의존하는 방식에서 벗어나 수학적 구조에 초점을 둔 이론으로 이를 위해 ‘갈루아 군’이라는 개념을 세웠다. 이는 기존 연구의 틀을 깨는 것이었으니 당시의 위대한 수학자들이라 하더라도 이해가 어려웠을 만하다. 하지만 이후 이 개념은 현대 대수학의 핵심 내용이 되었다.

갈루아는 정치에도 관심이 많아 공화정 단원으로 활동했다. 그러던 중 여자 친구를 사귀었는데 같은 공화정 단원이었던 갈루아의 친구가 이를 시기해 그에게 결투를 신청했다. 대결 상대가 자신보다 총을 다루는 능력이 뛰어나다는 것을 알고 있었던 갈루아는 죽음을 피할 수 없음을 직감했지만 성격이 불같던 그는 결투를 받아들였다. 그리고 결투 전날, 갈루아는 친구에게 자신의 연구 내용을 편지로 전해 주며 죽음을 준비했다. 그리고 다음 날 22세의 나이로 짧았던 생을 마감했다.  

- p67~68

프링글스 감자칩은 다른 감자칩 과자와는 다르게 원통 안에 감자칩이 일정한 모양으로 켜켜이 쌓여있다. 다른 감자칩들은 감자를 얇게 썰어 튀겨내 봉지에 넣어 파는데 프링글스 감자칩은 일부로 오목하게 휘어진 모양으로 만들었다. 이렇게 만들면 과자를 손으로 집기에도 편하고, 질서정연하게 원통 안에 차곡차곡 쌓을 수 있어서 이동 중에 감자칩이 잘 부스러지지 않는다. 

프링글스 감자칩에 수학이 숨겨져 있다. 이 감자칩 모양을 수학에서는 쌍곡포물면이라고 한다. 이름에서 알 수 있듯이 이 곡면을 다양하게 자르다 보면 쌍곡선과 포물선을 찾을 수 있다. 그림에서는 곡면을 수평으로 자르면 교선이 쌍곡선으로 나오고, 수직으로 자르면 교선이 포물선으로 나온다. 이런 곡선 연구의 대가가 페르마이다. 페르마의 원래 직업은 변호사였지만 그의 취미는 수학이었다. (…) 페르마는 수학자 친구들과 편지를 주고받으며 수학을 광범위하게 연구했고 그 결과들을 메모로 남겼다. 그가 생전에 자신의 연구 결과를 학계에 발표하지 않았지만 사후에 남겨진 편지와 메모 속에는 그의 수많은 수학적 업적이 기록되어 있었다. (…) 원뿔곡선에 대한 연구는 페르마에 의해 열매를 맺었다. 수학자들과 주고받은 편지와 메모만 있을 뿐 생전 논문이나 책을 편찬하지 않았던 페르마이었기에 사후에서야 페르마의 연구 결과가 담긴 《입문》이 발행되었다. 

- p93~97

뉴턴은 행성이 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 그리며 공전한다는 사실을 물리법칙에 근거해 수학적으로 계산해 냈다. 이 과정에서 사용된 수학적 방법이 바로 미적분법이며, 미적분법을 비롯한 천체의 궤도 운동에 관해 집대성한 책이 《자연철학의 수학적 원리(프린키피아)》이다. 이 책을 집필할 당시 뉴턴은 이 연구에 완전히 몰입했다. 종종 정원에서 산책하며 사색에 잠겨있다가도 뭔가 생각나면 “유레카!(찾았다!)”를 외치며 다시 방으로 되돌아갔다. 동료가 그런 뉴턴이 걱정되어 그의 방을 몰래 살펴볼 때면 책상에 앉을 시간도 없어서 선 채로 책을 집필하고 있었다고 한다.

뉴턴이 연구에 열의를 불태우던 즈음 세상은 혜성의 출현으로 떠들썩했다. 예로부터 혜성은 동서고금을 막론하고 불길한 일의 조짐이었다. 하지만 뉴턴은 행성만 아니라 혜성 역시 태양을 초점으로 한 타원 혹은 쌍곡선의 궤도를 그릴 수 있다고 했다. 당시 출현한 혜성은 핼리혜성이며, 이 혜성은 약 76년을 주기로 타원궤도를 그리면서 움직이고 있다. 핼리혜성은 망원경 없이 맨눈으로도 볼 수 있는 혜성이다. 1986년에 관측되었으니 2061년에 다시 핼리혜성을 관측할 수 있다.

뉴턴의 연구를 통해 우리는 우주가 수학적으로 작용하고 있음을 발견할 수 있다. 모든 자연계는 수학적 구조를 지니고 있으며 이제 과학은 수학이라는 도구를 가지고 연구하기 시작했다. 

- p150

미분법의 발견은 뉴턴 혼자만의 업적이 아니다. 앞서 속도함수의 그래프 아래의 넓이가 순간속도를 나타내는 얇은 직사각형의 합으로써 거리를 나타낸다는 것은 갈릴레이가 직관적으로 통찰했다. 이 방법을 발전시켜 넓이 혹은 부피를 구하고자 할 때 얇게 쪼개어 한 차원 낮은 도형의 무한한 합으로 구해 보려는 시도는 갈릴레이의 제자 카발리에리가 한 일이다. 수학자 월리스는 카발리에리에 대한 연구를 발전시켜 무한의 개념을 해석적으로 다루고 무한대 기호를 도입했다. 월리스의 제자이자 뉴턴의 재능을 알아보았던 수학자 배로는 속도함수 아래의 넓이를 나타내는 넓이함수를 미분하면 속도함수가 된다는 미적분법의 제1기본정리를 증명했다. 그리고 이 모든 것을 정리한 것이 바로 뉴턴인 것이다. 

뉴턴의 수많은 과학적 성취는 수많은 학자가 발견한 사실과 연구한 결과를 토대로 세워졌다. 뉴턴은 선배 수학자들의 인생과 업적을 배우고 그것을 익히는 과정에서 더 넓은 세상을 바라볼 수 있었다. 그러다 결국 넓은 세상 속 발견될 때를 기다리던 미적분학을 발견한 것이다. 그리고 뉴턴도 위대한 거인이 되어 수많은 후배에게 그리고 우리에게 높고 단단한 어깨를 빌려주고 있다. 

- p200~201

레오나르도 다빈치에서부터 뉴턴까지 

현대 수학을 완성시킨 수학자들의 연결고리

이 책은 저자가 대학원에서 논문을 쓰면서 우연히 발견한 뉴턴의 아포리즘 ‘거인의 어깨에 올라서서 더 넓은 세상을 바라보라’에서부터 시작되었다. 

수학에서 미적분법을 개발하고 물리학에서 뉴턴역학을 정리한 뉴턴은 역사상 손에 꼽히는 물리학자이자 수학자이다. 수학사에서 가장 큰 거인으로 언급되는 뉴턴의 모든 업적은 오롯이 그의 아이디어만으로 이루어진 것이 아니다. 현대 적분법의 시초는 2,500년 전 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 도형 넓이 구하는 법에서 시작되었고, 미분법의 발견은 갈릴레이의 순간속도 연구와 페르마의 접선 연구와 연결고리가 있다. 뉴턴은 이미 한 분야에서 일가를 이룬 수학 거인들의 인생과 업적을 배우고 익히는 과정을 통해 미적분법이라는 위대한 발견을 할 수 있었던 것이다.

이 책은 레오나르도 다빈치에서부터 뉴턴까지 수학 대가들이 어떠한 과정을 통해 수학 개념을 발견했고, 후대 수학자들이 현대 수학을 완성시키는 데 그들이 어떤 영향을 끼쳤는지 보여주고 있다. 

위대한 발견은 일상의 에피소드에서부터 

수학자들의 삶 속에서 배우는 수학 개념과 공식

기초 단계를 넘어 좀 더 높은 단계의 수학에 좀 더 쉽게 진입하기 위한 장치로 저자는 수학자들의 에피소드를 보여주고 있다. 일상적인 에피소드에서 시작된 수학자들의 위대한 발견 과정을 따라가다 보면 자연스럽게 수학의 개념과 공식을 습득하게 된다.

필즈상과 더불어 수학 분야의 노벨상이라 부르는 아벨상의 주인공인 노르웨이 대표 수학자 아벨이 중학교 수학 선생님에게 보낸 편지 속에는 ‘방정식의 개념’이 들어있고, 천부적인 수학적 재능을 타고 났지만 절친의 배신으로 역사의 뒤안길로 사라진 타르탈리아의 비극적 삶에서 ‘음수의 제곱근’이라는 개념을 배울 수 있다. 케플러는 오렌지 상자와 와인 통을 통해, 카발리에리는 사각뿔대를 통해 ‘밀도와 부피의 관계’를 알려주고, 다른 시대를 살았지만 우주라는 공통 관심사를 갖고 있던 갈릴레이, 케플러, 뉴턴은 우리에게 ‘천체의 움직임’을 알려주었다. 

한 사람 한 사람의 스토리가 모이면 역사가 되는 것처럼 수학자들의 스토리를 모아 보면 그것이 바로 수학의 역사가 된다. 세상 모든 만물이 그러하듯 수학의 모든 개념 또한 유구한 역사를 지니고 있다. 그 역사를 따라가다 보면 우리가 수학을 왜 배워야 하는지, 수학의 진정한 의미는 무엇인지에 대한 답을 얻을 수 있으며, 수학을 통해 세상을 바라보는 통찰의 기쁨과 일상에 숨겨진 수학의 아름다움을 느낄 수 있을 것이다.